玻尔兹曼常数

简介

玻尔兹曼常量系热力学的一个基本常量，记为“k”，数值为：k=1.380649×10-23J/K，玻尔兹曼常量可以推导得到：理想气体常数R等于玻尔兹曼常数乘以阿伏伽德罗常数（即R=k·NA）。

2018年11月16日，国际计量大会通过决议，1开尔文定义为“对应玻尔兹曼常数为1.380649×10-23J/K的热力学温度”。新的定义于2019年5月20日起正式生效。

物理意义

玻尔兹曼常数的物理意义是：气体常数R是玻尔兹曼常量k乘上阿伏伽德罗常量NA。

Ek=(3/2)kT

式中Ek为单个分子的平均平动动能，T为热力学温度。

推导过程

从气体动理论的观点来看，理想气体是最简单的气体，其微观模型有三条假设：

1.分子本身的大小比分子间的平均距离小得多，分子可视为质点，它们遵从牛顿运动定律。

2.分子与分子间或分子与器壁间的碰撞是完全弹性的。

3.除碰撞瞬间外，分子间的相互作用力可忽略不计，重力的影响也可忽略不计。因此在相邻两次碰撞之间，分子做匀速直线运动。单个分子在一次碰撞中对器壁上单位面积的冲量：

I=2m·vx

vx为x方向上的速度分量.这一次碰撞的时间为2a╱vx，故单位时间内的碰撞次数为vx╱2a。

所以单位时间内该分子对该器壁的冲量为：

(2m·vx)(vx/2a)=m·vx²/a.

而vx²=vy²=vz²=(1/3)v²,故单位时间内容器内所有分子对该器壁的压强

p=N×(1/3)m·v²/(a×b×c)=(1/3)N·m·v²/V，

由于分子平动动能Ek=(1/2)m·v²故，

p=(1/3)N·m·v²/V=(2N/3V)Ek。V为体积。该式即为理想气体的压强公式。

而理想气体状态方程P=N/V×(R/N')×T，其中N为分子数，N'为阿伏加德罗常数，定义R/N'为玻尔兹曼常数k，有：P=NkT╱V，即：PV=nRT=nN'kT=NkT.

上述所有的v为粒子的平均速率，Ek为平均平动动能。

应用

熵函数

熵可以定义为玻尔兹曼常数乘以系统分子的状态数的对数值：

S=k㏑Ω

这个公式是统计学的中心概念。系统某一宏观态对应的微观态数愈多，即它的混乱度愈大，则该状态的熵也愈大。因而熵是表征系统状态无序度的物理量。

理想气体常数

理想气体常数等于玻尔兹曼常数与阿伏伽德罗常数的乘积：

R=kN

理想气体温度

理想气体的压强公式为p=(1/3)Nmv2/V=(2N/3V)Ek，V为体积。而理想气体状态方程P=N/V*(R/N0)*T，其中N为分子数，N0为阿伏加德罗常数，定义R/N0为玻尔兹曼常数k，因此有：

P=（N/V)kT

故(1/3)Nmv2/V=（N/V)kT，（1/2)mv2=(3/2)kT，即

Ek=(3/2)kT。

考虑到粒子的运动有三个自由度（x，y，z），在单个自由度上的粒子动能为总动能的1/3，

则有Ekx=Eky=Ekz=(1/2)kT，

可以看到，①温度完全由气体分子运动的平均平动动能决定。也就是说，宏观测量的温度完全和微观的分子运动的平均平动动能相对应，或者说，大量分子的平均平动动能的统计表现就是温度（如果只考虑分子的平动的话）。

②如果已知气体的温度，就可以反过来求出处在这个温度下的分子的平动速度的平方的平均值，这个平均值开方就得到所谓方均根速率。

参考资料